بسم الله الرحمن الرحيم
الإجابة عن أسئلة الكتاب للصف العاشر
الوحدة الأولى
الدرس الأول
العبارات
س1: ميز العبارات من غيرها في الجمل الآتية، وحدد قيمة الصواب للعبارة
منها:
(أ) قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الأخر.
الإجابة:
الجملة التالية تمثل عبارة وهى عبارة صائبة.
(ب) هل أنهيت عملك .
الإجابة:
الجملة التالية ليست عبارة لأنها جملة استفهامية.
(جـ) الرياضيات مادة سهلة .
الإجابة:
الجملة التالية ليست عبارة لأنه لا يمكن الحكم على صوابها
(د) البحر الميت أكثر بقاع الأرض انخفاضا عن سطح البحر .
الإجابة:
الجملة التالية تمثل عبارة وهى عبارة صائبة.
(هـ) رام الله مدينة ساحلية .
الإجابة:
الجملة التالية تمثل عبارة وهى عبارة خاطئة
(و) س – 2 = 0
الإجابة:
الجملة التالية ليست عبارة لأنه لا يمكن الحكم على صوابها
(ز) أدرس جيدا .
الإجابة:
الجملة التالية ليست عبارة لأنه طلب
(ح) العدد الزوجي هو ذلك العدد الذي يقبل القسمة على 2 دون باق .
الإجابة:
الجملة التالية تمثل عبارة وهى عبارة صائبة.
س2: اكتب نفيا للعبارات الواردة في السؤال (1) :
(أ) قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الأخر.
الإجابة:
ليس صحيحا أن قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الأخر.
أو قطرا متوازي الأضلاع لا ينصف كل منهما الأخر.
(د) البحر الميت أكثر بقاع الأرض انخفاضا عن سطح البحر .
الإجابة:
ليس صحيحا أن البحر الميت أكثر بقاع الأرض انخفاضا عن سطح البحر .
أو البحر الميت ليس أكثر بقاع الأرض انخفاضا عن سطح البحر .
(هـ) رام الله مدينة ساحلية .
الإجابة:
ليس صحيحا أن رام الله مدينة ساحلية.
أو رام الله ليست مدينة ساحلية
(ح) العدد الزوجي هو ذلك العدد الذي يقبل القسمة على 2 دون باق.
الإجابة:
ليس صحيحا أن العدد الزوجي هو ذلك العدد الذي يقبل القسمة على 2 دون باق.
س3: انف العبارات الآتية :
ف : جا 30 = 2 .
الإجابة:
جا 30 ≠ 2
ن: 20 عدد يقبل القسمة على 4.
الإجابة:
ليس صحيحا أن 20 عدد يقبل القسمة على 4
أو 20 عدد لا يقبل القسمة على 4
م: عدد أيام السنة الميلادية مساو لعدد أيام السنة الهجرية.
الإجابة:
ليس صحيحا أن عدد أيام السنة الميلادية مساو لعدد أيام السنة الهجرية
ل : عمر بن الخطاب أول الخلفاء الراشدين .
الإجابة:
ليس صحيحا أن عمر بن الخطاب أول الخلفاء الراشدين.
ر: عدد أيام شهر آذار هو 31 يوما.
الإجابة:
ليس صحيحا أن عدد أيام شهر آذار هو 31 يوما.
ز : يوم الجمعة عطلة رسمية .
الإجابة:
ليس صحيحا أن يوم الجمعة عطلة رسمية .
الدرس الثانى
أدوات الربط
س1: اوجد قيمة الصواب للعبارات الآتية :
(أ) إذا كان 2 × 3 =6 فإن 2 عامل من عوامل 6.
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 2 × 3 =6 هي (ص)
قيمة الصواب للعبارة ن: 2 عامل من عوامل 6 هي (ص)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف←ن) هي
ص ← ص = ص
(ب) 22 = 4 إذا وفقط إذا 4 عدد صحيح .
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 22 = 4 هي (ص)
قيمة الصواب للعبارة ن: إذا 4 عدد صحيح هي (ص)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف↔ن) هي
ص ↔ ص = (ص ← ص)^( ص ← ص) = ص ^ ص = ص
(ج) إذا كان 3 > 1 فإن 5 < 1.
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 3 > 1 هي (ص)
قيمة الصواب للعبارة ن: 5 < 1 هي (خ)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف←ن) هي
ص ← خ = خ
(د) س2 عدد فردى فقط إذا س عدد أولى .
الإجابة:
هذه العبارة تكافئ العبارة التالية " إذا كانت س عددا أوليا فإن س2 عدد فردى "
قيمة الصواب للعبارة ف: س عددا أوليا هي (ص)
قيمة الصواب للعبارة ن: س2 عدد فردى هي (خ) لأنه (2)2=4 عدد زوجي
ص ← خ = خ
س2: إ ذا كانت : ف: الشمس مشرقة
ن: تهب رياح شمالية
ل: ارتفعت درجة الحرارة
م: نزل المطر
عبر عما يأتي بالكلمات :
(أ) ن ← (~ ف Ú ل )
الإجابة:
إذا كانت تهب رياح شمالية فإن الشمس ليست مشرقة أو ترتفع درجة الحرارة
(ب) ف ← ل
الإجابة:
إذا كانت الشمس مشرقة فإن درجة الحرارة ترتفع
(ج) (ف ^ ل ) ←~ م
الإجابة:
إذا كانت الشمس مشرقة وارتفعت درجة الحرارة فإن المطر لم ينزل
(د) ~ ف ^ ن ← م
الإجابة:
إذا كانت الشمس ليست مشرقة وهبت رياح شمالية فإن المطر ينزل
س3: عبر عن الجمل الآتية بالرموز، مستخدما ف، ن، م، ل الواردة في السؤالالسابق (2)
(أ) ترتفع درجة الحرارة إذا وفقط إذا أشرقت الشمس ولم ينزل المطر .
الإجابة:
ترتفع درجة الحرارة (ل) ، أشرقت الشمس (ف) ، لم ينزل المطر (~ م)
ل ↔ (ف^ ~ م )
(ب) إما أن تشرق الشمس، وترتفع درجة الحرارة أو أن تهب رياح شمالية، وينزل المطر.
الإجابة:
ترتفع درجة الحرارة (ل) ،أشرقت الشمس (ف) ، ينزل المطر (م) ، تهب رياح شمالية(ن)
(ف ^ ل ) Ú (ن ^ م )
(ج) ترتفع درجة الحرارة وتشرق الشمس ولا تهب رياح شمالية فقط إذا لم ينزل المطر.
الإجابة:
ترتفع درجة الحرارة (ل) ،أشرقت الشمس (ف) ،
لم ينزل المطر (~ م) ، تهب رياح شمالية(~ ن)
~ م ← (ل ^ ف ) ^ ~ ن
س4: لتكن ف : سمير يركض
ن : أحمد يضحك
م : تزحلق ماهر
عبر بالكلمات عن العبارات المركبة الآتية :
(أ) (ف ^ ن ) ← م .
الإجابة:
إذا كان سمير يركض و أحمد يضحك فإن ماهر سوف يتزحلق
(ب)~ ف Ú ( ن ^ م )
الإجابة:
سمير لم يركض أو احمد يضحك وماهر يتزحلق
(ج) (~ م ←~ ن) Ù(ف← ن)
الإجابة:
إذا كان ماهر لم يتزحلق فإن احمد لم يضحك و إذا كان سمير يركض فإن أحمد يضحك
(د) (ف Ú م ) ↔ ~ ن
الإجابة:
سمير يركض أ و ماهر يتزحلق إذا وفقط إذا أحمد لم يضحك
س4: أبين مركبات العبارات الآتية:
(أ) ذهب أحمد أو على إلى السوق .
الإجابة:
العبارة الأولى هي ذهب أحمد إلى السوق
العبارة الثانية هي ذهب على إلى السوق
(ب) الجو ماطر وبارد.
الإجابة:
العبارة الأولى هي الجو ماطر
العبارة الثانية هي الجو بارد
(ج) إذا كان 2+5 = 7 فإن 17 عدد أولى.
الإجابة:
العبارة الأولى هي 2+5 = 7
العبارة الثانية هي 17 عدد أولى
(د) الشكل أ ب جـ د معين إذا وفقط إذا كان قطراه متعامدين وينصف كل منهما الأخر.
الإجابة:
العبارة الأولى هي الشكل أ ب جـ د معين
العبارة الثانية هي قطرا المعين متعامدين
العبارة الثالثة هي قطرا المعين ينصف كل منهما الأخر
س4: أبين صحة أو خطأ كل من العبارات الآتية:
(أ) (1+2=5) أو 22> 5
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 1+2=5 هي (خ)
قيمة الصواب للعبارة ن: 22> 5 هي (خ)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف Úن) هي
خ Ú خ = خ
(ب) إذا كان 4+8 =15 فإن 2×3 =7
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 4+8 =15 هي (خ)
قيمة الصواب للعبارة ن: 2×3 =7 هي (خ)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف ←ن) هي
خ ←خ = ص
(جـ) 22 +24 =20 إذا وفقط إذا 5×4 = 20
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 22 +24 =20 هي (ص)
قيمة الصواب للعبارة ن: 5×4 = 20 هي (ص)
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف ↔ن) هي
ص ↔ص = (ص ← ص)^( ص ← ص) = ص ^ ص = ص
(د) إذا كان 5 عددا زوجيا فإنه لن ينجح أحد في امتحان الثانوية العامة.
الإجابة:
قيمة الصواب للعبارة ف: 5 عددا زوجيا
قيمة الصواب للعبارة ن: لن ينجح أحد في امتحان الثانوية العامة
إذن قيمة الصواب للعبارة (ف ←ن) هي
خ ←خ = ص
الدرس الثالث
تكافؤ العبارات
س1: باستخدام جدول الصواب المناسب ، بين فيما إذا كانت العبارات
التالية متكافئة أم لا:
(أ)(ف Ú ن )← ن ، ف← ن
الإجابة:
ف
ن
ف Ú ن
ف← ن
(ف Ú ن )← ن
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
ص
خ
خ
خ
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
ص
(ف Ú ن )← ن ≡ ف← ن
(ب) (ف ← ن) Ú (ف← م) ، ف ← (ن Ú م)
الإجابة:
ف
ن
م
ف ← ن
ف← م
ن Ú م
(ف ← ن)Ú(ف← م)
ف ← (ن Ú م)
ص
ص
ص
ص
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
ص
خ
ص
خ
ص
ص
خ
ص
خ
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
خ
خ
خ
خ
خ
ص
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
ص
خ
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
ص
خ
ص
ص
(ف ← ن) Ú (ف← م) ≡ف ← (ن Ú م)
س2: بين أن
(أ) ف Ú ن ≡ ن Ú ف (ب) ف Ù ن ≡ ن Ù ف
الإجابة:
ف
ن
ف Ú ن
ن Ú ف
ص
ص
ص
ص
ص
خ
ص
ص
خ
ص
ص
ص
خ
خ
خ
خ
ف
ن
ف Ùن
ن Ù ف
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
خ
ص
خ
خ
خ
خ
خ
خ
س3: أثبت خاصيتي المطابقة التاليتين :
ف
ف
ف Ù ف
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
خ
خ
خ
(أ) ف ^ ف ≡ ف ( ب) ف Ú ف ≡ ف
الإجابة:
ف
ف
ف Ú ف
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
خ
خ
خ
س4: بين أن ~ (ف↔ ن) ≡ (ف Ù ~ ن) Ú (ن Ù ~ ف)
الإجابة:
ف
ن
~ ف
~ ن
ف Ù ~ ن
ن Ù ~ ف
ف↔ ن
~ (ف↔ ن)
(ف Ù ~ ن) Ú (ن Ù ~ ف)
ص
ص
خ
خ
خ
خ
ص
خ
خ
ص
خ
خ
ص
ص
خ
خ
ص
ص
خ
ص
ص
خ
خ
ص
خ
ص
ص
خ
خ
ص
ص
خ
خ
ص
خ
خ
س5: أنف العبارات الآتية :
(أ)3 < 5 و 3 = 2 .
الإجابة:
نفرض أن ف: 3 < 5
ن: 3 = 2
وبالتالي حسب قانوني ديمورغان فإن ~ (ف Ù ن) = ~ ف Ú~ ن
~ ف: 3 ≥ 5
~ ن: 3 ≠ 2
إذن 3 ≥ 5 أو 3 ≠ 2
(ب) 21 عدد غير أولى و فردى .
الإجابة:
نفرض أن ف: 21 عدد غير أولى ~ ف: 21 عدد أولى ن: 21 عدد فردى ~ ن: 21 عدد غير فردى وبالتالي حسب قانوني ديمورغان فإن ~ (ف Ù ن) = ~ ف Ú~ ن
إذن 21 عدد أولى أو غير فردى
(جـ) ليس صحيحا أن " 3 + 7 = 13 و 35 عدد أولى ″ .
الإجابة:
نفرض أن ف: 3 + 7 = 13
ن: 35 عدد أولى
ليس صحيحا أن (هي عبارة ~)
وبالتالي ليس صحيحا أن " 3 + 7 = 13 و 35 عدد أولى ″ يعبر عنها كالتالي:
~ (3 + 7 = 13 و 35 عدد أولى ) ولإيجاد نفى هذه العبارة يمكن حلها حسب
قانون النفي المتكرر ~ (~ ف) = ف فتصبح نفى العبارة كالتالي :
~ (~ (3 + 7 = 13 و 35 عدد أولى )) = 3 + 7 = 13 و 35 عدد أولى
(د) سلمى تتقن التحدث بالعربية والانجليزية .
الإجابة:
نفرض أن ف: سلمى تتقن التحدث بالعربية
ن: سلمى تتقن التحدث بالانجليزية
وبالتالي حسب قانوني ديمورغان فإن ~ (ف Ù ن) = ~ ف Ú~ ن
~ ف: سلمى لا تتقن التحدث بالعربية
~ ن: سلمى لا تتقن التحدث بالانجليزية
إذن سلمى لا تتقن التحدث بالعربية أو لا تتقن التحدث بالانجليزية
(هـ) أحمد غير سعيد وزوجته غير سعيدة .
الإجابة:
نفرض أن ف: أحمد غير سعيد
ن: زوجته غير سعيدة
وبالتالي حسب قانوني ديمورغان فإن ~ (ف Ù ن) = ~ ف Ú~ ن
~ ف: أحمد سعيد
~ ن: زوجته سعيدة
إذن أحمد سعيد أو زوجته سعيدة
(و) نهى لم تنجح في الفيزياء ولكنها نجحت في الرياضيات
الإجابة:
نفرض أن ف: نهى لم تنجح في الفيزياء
ن: نهى نجحت في الرياضيات
العبارة ولكن تسمى (أو)
وبالتالي حسب قانوني ديمورغان فإن ~ (ف Ú ن) = ~ ف Ù~ ن
~ ف: نهى نجحت في الفيزياء
~ ن: لم تنجح في الرياضيات
إذن نهى نجحت في الفيزياء و لم تنجح في الرياضيات
(ز) أنا أفكر إذا وفقط إذا أنا موجود
الإجابة:
نفرض أن ف: أنا أفكر
ن: أنا موجود
~ ف: لا أفكر
~ ن: ليس موجود
لإيجاد نفى العبارة تصبح كالتالي ~ (ف ↔ ن) = ~ ((ف ← ن)^( ن ← ف))
~ ((ف ← ن)^( ن ← ف)) = ~ (ف ← ن) Ú~ ( ن ← ف)
~ (ف ← ن) Ú~ ( ن ← ف)=( ف ^ ~ ن ) Ú (ن ^~ ف)
إذن أنا أفكر وليس موجود أو أنا موجود ولا أفكر
س6: اكتب كلا من المعكوس ، والمعاكس الايجابي ، ونفى العبارة التالية :
" إذا كان عمر هبة عشر سنوات فإنها في الصف الخامس الأساسي ″
الإجابة:
نفرض أن ف: عمر هبة عشر سنوات
ن: هبة في الصف الخامس الأساسي
العبارة التالية نحولها إلى رموز كالتالي
ف ← ن
أولا : معكوس العبارة ف ← ن هي ن ← ف
تصبح العبارة كالتالي" إذا كانت هبة في الصف الخامس الأساسي فإن عمر هبة
عشر سنوات ″
ثانيا : المعاكس الايجابي للعبارة ف ← ن هي ~ ن ←~ ف
~ ف: عمر هبة ليس عشر سنوات
~ ن: هبة ليست في الصف الخامس الأساسي
تصبح العبارة كالتالي" إذا كانت هبة ليست في الصف الخامس الأساسي فإن عمر هبة
ليس عشر سنوات ″
ثالثا : نفى العبارة ف ← ن ≡ ( ف ^ ~ ن)
تصبح العبارة كالتالي" عمر هبة عشر سنوات وهبة ليست في الصف الخامس الأساسي ″
الدرس الرابع
عبارات تحصيل الحاصل والتناقض
س1: كون جدول الصواب لكل عبارة مما يأتي، ثم أبين أيا منها تناقضا
وأيا منها غير ذلك :
(أ)ف ← (ف Ú ن)
الإجابة:
ف
ن
ف Ú ن
ف ← (ف Ú ن)
ص
ص
ص
ص
ص
خ
ص
ص
خ
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
نلاحظ أن قيم الصواب للعبارةف ← (ف Ú ن) صائبة لجميع الإمكانات وبالتالي
تحصيل حاصل
(ب) (ف Ù ن ) Ù (~ ف)
الإجابة:
ف
ن
~ ف
ف Ù ن
(ف Ù ن ) Ù (~ ف)
ص
ص
خ
ص
خ
ص
خ
خ
خ
خ
خ
ص
ص
خ
خ
خ
خ
ص
خ
خ
نلاحظ أن قيم الصواب للعبارة(ف Ù ن ) Ù (~ ف)خاطئة لجميع الإمكانات وبالتالي
تحصيل تناقض
(جـ) [ ( ف ← ن ) Ù ف ] ← ن
الإجابة:
ف
ن
ف ← ن
( ف ← ن ) Ù ف
[ ( ف ← ن ) Ù ف ] ← ن
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
خ
ص
ص
خ
ص
خ
خ
ص
خ
ص
نلاحظ أن قيم الصواب للعبارة[ ( ف ← ن ) Ù ف ] ← ن صائبة لجميع الإمكانات
وبالتالي تحصيل حاصل
(د) [ ( ف ← ن ) Ù~ ن ] ← ن
الإجابة:
ف
ن
~ ن
ف ← ن
( ف ← ن ) Ù~ ن
[ ( ف ← ن ) Ù~ ن ] ← ن
ص
ص
خ
ص
خ
ص
ص
خ
ص
خ
خ
ص
خ
ص
خ
ص
خ
ص
خ
خ
ص
ص
ص
خ
نلاحظ أن قيم الصواب للعبارة[ ( ف ← ن ) Ù~ ن ] ← ن ليست صائبة لجميع
الإمكانات وبالتالي ليست تحصيل حاصل وكذلك ليست خاطئة لجميع الإمكانات وبالتالي
ليست تحصيل تناقض
الدرس الخامس
الجمل المفتوحة
س1: أوجد مجموعة الحل للجمل المفتوحة والمعرفة على مجموعة
التعويض إزاء كل منها:
(أ)ق (س) : س2 -4 =0 ، س عدد صحيح .
الإجابة:
س2 -4 =0
(س-2)(س+2) =0 س-2 =0 أو س +2 =0
س=2 ، س=-2
ونلاحظ أن 2، -2 أعداد صحيحة
1
2
إذن مجموعة الحل = { 2، -2 }
(ب) هـ (س): ( س - 4)(س + ) =0، س عدد نسبى.
1
2
الإجابة:
1
2
إما س – 4 =0 أو س + =0
1
2
إما س = 4 أو س = -
ونلاحظ أن 2، - أعداد نسبية
1
2
إذن مجموعة الحل = { 2، - }
(جـ) م(س) : 2س -5 =4 ، س ' { 1 ، 2 ، 3 } .
9
2
الإجابة:
9
2
2س – 5 =4 2س = 4 + 5 2س = 9 س =
ونلاحظ أن 'لمجموعة التعويض
إذن مجموعة الحل = Ø
(د) ل(س) : -4<3س-1< 7 ، س ' ط* .
الإجابة:
نقوم بإضافة العدد 1 للمعادلة
-4+1< 3س < 7+ 1 -3 < 3س < 8
8
3
8
3
-3
3
3
3
نقسم المعادلة على معامل س (3) فتصبح المعادلة كالتالي
< س < -1 < س <
8
3
ط* هي جميع الأعداد الطبيعية ما عدا الصفر
الأعداد الطبيعية ما عدا الصفر المحصورة بين -1، هي 1، 2
إذن مجموعة الحل = { 1، 2 }
(هـ) م (س) Ù ل (س) الواردة في فرعى (جـ)، (د) أعلاه .
الإجابة:
م(س) = Ø
ل(س) = { 1، 2 }
م (س) Ù ل (س) = Ø ∩ { 1، 2 } = Ø
إذن مجموعة الحل = Ø
(و) هـ (س): س عدد صحيح يقبل القسمة على 3، س ' ط*
الإجابة:
الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على 3 هي { 3، 6، 9، 12، 15، 18،.......}
وتكتب على الصورة 3 س بحيث س ' ط*
إذن مجموعة الحل = 3س بحيث س ' ط*
(ز) ق(س): س2 – 2س +1 =0، بحيث س ' ط*
الإجابة:
س2 – 2س +1 =0
(س - 1) (س - 1) =0
إما س – 1 =0 أو س – 1 = 0
س=1
إذن مجموعة الحل = { 1 }
س2: أوجد مجموعة الحل للجمل المفتوحة والمعرفة على مجموعة
التعويض إزاء كل منها:
(أ) م (س) : 2 < س < 5 ، س ' ص .
الإجابة:
الأعداد الصحيحة المحصورة بين 2، 5 هي { 3، 4 }
إذن مجموعة الحل = { 3، 4 }
(ب) ك (ص) : ص2 ≥ 0 ، ص 'ص .
الإجابة:
مربع أي عدد صحيح سواء كان موجب أو سالب يعطى قيمة موجبة
وبالتالي يكون اكبر من صفر
إذن مجموعة الحل = مجموعة الأعداد الصحيحة (ص)
(جـ) ع (أ ، ب) : أ + 2 ب = 8 ، أ ، ب ' ط* .
الإجابة:
نلاحظ أن الزوج المرتب (2، 3) أحد عناصر مجموعة الحل حيث 2 + 2× 3= 8
بنفس الطريقة سنجد أن مجموعة الحل للجملة المفتوحة ك (س، ص) هي:
إذن مجموعة الحل = { (2، 3)، (6، 1)، (4، 2 ) }
(د) ز(ص) : ص عدد زوجي من مضاعفات العدد 5 ، ص '{ 0، 1، 2،3،4،......، 20} .
الإجابة:
من مضاعفات العدد 5 المحصورة بين 0، 20 هي 5، 10، 15، 20
الأعداد الزوجية من بين الأعداد 5، 10، 15، 20 هي 10، 20
إذن مجموعة الحل = { 10، 20 }
(هـ) ن(س) : س2 +2س +16 =0 ، س 'ح .
الإجابة:
س2 +2س +16 =0
نقوم بتحليل هذه المعادلة حسب القانون العام كالتالي:
أ=1 ، ب = 2 ، جـ = 16
-2 + (2)2 -4 ×1×16
2×1
- ب + ب2 – 4 أ جـ
2أ
س= س=
2+ -60
2
2+ 4- 64
2
س= س=
2+ 2 -15
2
2(1+ -15 )
2
س= س=
س= 1 + -15
س = 1+ -15 (مرفوض) أو س= 1- -15 (مرفوض)
لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب وبالتالي:
مجموعة الحل = Ø
(و) ح(س) : جا2 س + جتا2 س = 1 ، س 'ح .
الإجابة:
نلاحظ انه لو كانت قيمة س =0 فإن (جا 0)2 + (جتا 0)2 = 0 + 1 = 1
وبالتالي نعوض في المعادلة عن باقي القيم التي تعطى لنا الناتج 1ومنها:
س = {0،30، 45، 60، 90 ، 120 ، 135 ، 150 ، 180 ، 225 ، 240 ،
270 ، 300 ، 315 ، 330 ، 360 ، .......... } وهذه القيم الأساسية
وهناك قيم أخرى ولذلك نلاحظ أن جميع الأعداد الحقيقة تحقق الشرط
مجموعة الحل = ح
(ز) ن(س) Ú ح(س) الواردة في فرعى (هـ)، (و) أعلاه
الإجابة:
ن(س) = Ø
ح(س) = ح
ن (س) Ú ح (س) = Ø U ح =ح
مجموعة الحل= ح = مجموعة الأعداد الحقيقية
الدرس السادس
العبارة المسورة
س1: هل العبارات الآتية صائبة أم خاطئة ؟ وبين سبب الإجابة .
(أ) مجموع زوايا المثلث 180
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة صائبة لأنه لا يوجد مثلث مجموع زواياه أقل من 180
(ب) بعض الحيوانات ليست طيور .
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة صائبة
حسب العبارة المسورة جزئيا فان وجد تعويض واحد يحقق الشرط تصبح العبارة صحيحة
مثلا: الأسد حيوان وليس طير
(جـ) لأي عدد زوجي س، س عدد غير أولى.
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة خاطئة
حسب العبارة المسورة كليا فان وجد تعويض واحد على الأقل لا يحقق الشرط
تصبح العبارة خاطئة
مثلا: 2 عدد زوجي، 2 عدد أولى
(د) كل عدد طبيعي فردى هو عدد أولى .
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة خاطئة
حسب العبارة المسورة كليا فان وجد تعويض واحد على الأقل لا يحقق الشرط
تصبح العبارة خاطئة
مثلا: 9 عدد طبيعي فردى، 9 عدد غير أولى
(هـ)" س ' ح ، E ص ' ح : 2ص = س
الإجابة:
1
2
1
2
العبارة التالية تمثل عبارة صائبة
مثلا: س=1 فإنه يجب أن تكون قيمة ص = تصبح كالتالي 2× = 1
1
2
ومنها نلاحظ أن ' ح
(و) " ن ' ط* ، 6ن -1 عدد أولى
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة خاطئة
مثلا: ن = 6 فإن 6×6 -1 = 35 وبالتالي 35 عدد غير أولى
(ز) " س، ص ' ح ، س2 – ص2 = (س- ص)(س+ ص)
الإجابة:
العبارة التالية تمثل عبارة صائبة لأنه جميع قيم س، ص تحقق الشرط
ولأنها فرق بين مربعين
س2: عبر عن الجمل التالية بالرموز :
(أ) كل شكل رباعي هو متوازي أضلاع
الإجابة:
تفرض أن س : شكل رباعي ، ق(س) : متوازي أضلاع (جملة مفتوحة)
" س ، ق(س)
(ب) كل عدد صحيح يقبل القسمة على 3، يقبل القسمة على 6.
س
6
س
3
الإجابة:
" س ' ص ، ' ص ، ' ص
س
4
س
2
(جـ) يوجد عدد طبيعي يقبل القسمة على 2، ولا يقبل القسمة على 4.
الإجابة: E س ' ط ، ' ط ، ' ط
الدرس السابع
نفى العبارات المسورة
س1: انف العبارات التالية :
(أ) جميع المثلثات متطابقة .
الإجابة:
بعض المثلثات غير متطابقة
(ب)" س '[0،1] ، س2 '[0،1] .
الإجابة:
E س '[0،1] ، س2 '[0،1]
(جـ) بعض الأعداد الفردية ، مربعاتها زوجية .
الإجابة:
جميع الأعداد الفردية ، مربعاتها غير زوجية
(د) بعض الأعداد الزوجية، أعداد أولية.
الإجابة:
جميع الأعداد الزوجية، أعداد غير أولية.
(هـ) (" س ، ق (س) ) Ù (E س : هـ (س) ) .
الإجابة:
(E س ، ~ ق (س) ) Ú (" س : ~ هـ (س) )
(و) E س : ( ق(س) ← هـ (س) )
الإجابة:
" س : ( ق(س) Ù~ هـ (س) )
الدرس الثامن
طرق البرهان
س1: برهن صحة العبارات الآتية :
(أ) إذا كان ن عددا فرديا، م عددا زوجيا، فإن ن+ م عدد فردى
الإجابة:
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان المباشر
نفرض أن ف: ن عددا فرديا
وأن ن: م عددا زوجيا
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض أن ن عددا فرديا، م عددا زوجيا
إذن الصورة العامة للعدد الفردي = 2ك+ 1 ، الصورة العامة للعدد الزوجي= 2ك
إذن ن = 2ك +1، م = 2ك، بحيث ك ' ص
إذن ن+م = (2ك +1 ) + (2ك)
= 4 ك + 1
= 2 (2ك) +1
نعبر عن الرمز 2ك = م
= 2 م + 1 وهو عدد فردى
(ب) مجموع عددين فرديين عدد زوجي.
" يمكن كتابة هذه العبارة على الصورة: إذا كان م، ن عددين فرديين فإن م+ن عدد زوجي "
الإجابة:
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان المباشر
نفرض أن ف: ن عددا فرديا
وأن ن: م عددا فرديا
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض أن ن عددا فرديا، م عددا فرديا
إذن الصورة العامة للعدد الفردي = 2ك+ 1، بحيث ك ' ص
إذن ن = 2ك +1، م = 2ك +1
إذن ن+م = (2ك +1 ) + (2ك+ 1)
= 4 ك + 2
= 2 (2ك+ 1)
نعبر عن الرمز 2ك+ 1 = م
= 2 م وهو عدد زوجي
(جـ) مربع العدد الفردي هو عدد فردى.
" إرشاد : هذه العبارة تكافئ العبارة : إذا كان أ عدد فردى فإن أ2 عدد فردى"
الإجابة:
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان المباشر
نفرض أن ف: أ عدد فردى
وأن ن: أ2 عدد فردى
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض صحة العبارة ف ونريد إثبات صحة العبارة ن
نفرض أن أ عدد فردى
إذن أ = 2ك +1 بحيث ك ' ص
أ2 = (2ك +1)2
أ2 = 4ك2 +4ك +1
أ2= 2(ك2+2ك) +1
نعبر عن الرمز ك2+2ك = م
أ2 = 2 م +1 وهو عدد فردى
لان الصيغة العامة للعدد الفردي يمكن كتابته على الصورة 2م+1
(د) إذا كان أ ب جـ مثلث فيه أ ب = أ جـ فإن قياس زاوية ب = قياس زاوية جـ
الإجابة:
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان المباشر
نفرض أن ف: أ ب = أ جـ
وأن ن: قياس زاوية ب = قياس زاوية جـ
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض صحة العبارة ف ونريد إثبات صحة العبارة ن
نفرض أن أ ب = أ جـ
إذن المثلث أ ب جـ مثلث متساوي الساقين
وإذا كان المثلث متساوي الساقين فإن زاويتي القاعدة متساوية
إذن قياس زاوية ب = قياس زاوية جـ
(هـ) إذا كان أ0ب عددا فرديا فإن كلا من أ، ب عدد فردى.
الإجابة:
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان غير المباشر
نفرض أن ف: أ.ب عددا فرديا
وأن ن: أ، ب عدد فردى
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض صحة العبارة ~ ن ونريد إثبات صحة العبارة ~ ف
بأسلوب البرهان غير المباشر : نفرض ~ ن : أ، ب عدد زوجي
~ ف : أ0ب عددا زوجيا
نفرض أن أ، ب عدد زوجي
إذن الصورة العامة للعدد الزوجي = 2ك ، بحيث ك ' ص
إذن أ = 2ك، ب = 2ك
إذن أ.ب = 2ك.2ك = 4ك2
= 4ك2
= 2 (2ك2)
نعبر عن الرمز 2ك2= م
= 2 م وهو عدد زوجي
ومنها تم إثبات صحة العبارة ~ ف
س2: يمثل الشكل (1-4) أدناه دائرة مركزها (جـ) ، إذا كان الوتر أب = الوتر دهـ
جـ
أثبت أن المثلثين أ ب جـ، د جـ هـ متطابقان. د
الإجابة: أ
يمكن حل هذا السؤال باستخدام البرهان المباشر
نفرض أن ف: الوتر أب = الوتر دهـ هـ
وأن ن: المثلثين أ ب جـ، د جـ هـ متطابقان ب
المطلوب إثبات أن ف ← ن
نفرض صحة العبارة ف ونريد إثبات صحة العبارة ن
نفرض أن :
الوتر أب = الوتر دهـ
والضلع أ جـ = الضلع جـ هـ (لأنهما أنصاف أقطار)
والضلع ب جـ = الضلع جـ د (لأنهما أنصاف أقطار)
إذن الأضلاع الثلاثة متساوية
وبالتالي المثلثين أ ب جـ، د جـ هـ متطابقان
ومنها تم إثبات صحة العبارة ن
الدرس التاسع
الاستنتاج المنطقي
س1: ناقش صحة الاستنتاجات الآتية :
(1)إذا درست للامتحان فإنك ستنجح فيه
أنا درست
إذن سأنجح في الامتحان
الإجابة:
نفرض أن ف: درست للامتحان، ن: سأنجح في الامتحان
وبالتعبير الرمزي يصبح السؤال على الصورة :
ف ← ن
ف
ن
فتصبح العبارة كالتالي : [ ( ف ← ن ) Ù ف ]← ن
وللحكم على صحة الاستنتاج أم عدمه من خلال الجدول الاتى :
ف
ن
ف ← ن
( ف ← ن ) Ù ف
[ ( ف ← ن ) Ù ف ]← ن
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
خ
ص
ص
خ
ص
خ
خ
ص
خ
ص
نلاحظ من العمود الأخير أن العبارة [ ( ف ← ن ) Ù ف ]← ن تحصيل حاصل
إذن الاستنتاج صحيح
(2)لو أنني درست بجد لذهبت إلى الجامعة
أنا ذهبت إلى الجامعة
لذلك أنا درست بجد
الإجابة:
نفرض أن ف: أنني درست بجد، ن: ذهبت إلى الجامعة
وبالتعبير الرمزي يصبح السؤال على الصورة :
ف ← ن
ن
ف
فتصبح العبارة كالتالي : [ ( ف ← ن ) Ù ن ]← ف
وللحكم على صحة الاستنتاج أم عدمه من خلال الجدول الاتى :
ف
ن
ف ← ن
( ف ← ن ) Ù ن
[ ( ف ← ن ) Ù ن ]← ف
ص
ص
ص
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
خ
ص
ص
ص
خ
خ
خ
ص
خ
ص
نلاحظ من العمود الأخير أن العبارة [ ( ف ← ن ) Ù ف ]← ن ليس تحصيل حاصل
وليس تحصيل تناقض
إذن العبارة ليس استنتاجا
مدرسة هايل عبد الحميد
الأحد أكتوبر 23, 2011 8:24 pm
